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如何理解FFT中的頻譜泄露效應?

2020-01-12 來源:微波射頻網作者:Knight 我要評論(0) 字號:

快速傅里葉變換(FFT)實現了時域到頻域的轉換,是信號分析中最常用的基本功能之一。FFT變換時,總是從離散數據中選取一部分處理,將其稱為一幀數據。而且FFT是在一定假設下完成的,即認為被處理的信號是周期信號。因此,FFT之前會對這一幀數據進行周期擴展。

以CW信號為例,如果選取的這一幀數據不是信號周期的整數倍,則在周期擴展時會存在樣點的不連續性,如圖1所示。這將導致FFT之后得到的頻譜失真,主要體現在頻率成分上。理論上,頻譜中只包含待測信號的頻率,但實際上此時的頻譜包含眾多的頻率分量。通常將這種現象稱為頻譜泄露效應。

圖1. 周期擴展造成樣點不連續

缅甸玉和国际為了抑制頻譜泄露效應,可以采用諸如Hanning、Kaiser等多種時間窗。還有一種特殊的時間窗——矩形窗,其實就是不加時間窗,直接對原始樣點做FFT變換,上述例子就是采用矩形窗的情況。只有采用矩形窗,而且窗寬度不是信號周期的整數倍時,才會發生明顯的頻譜泄露效應。

本文的重點并非介紹如何采用時間窗抑制頻譜泄露效應,而是從理論上剖析采用矩形窗時造成頻譜泄露的本質。

1. 為什么會造成頻譜泄露?

圖1所示的樣點不連續也意味著相位不連續,存在180°相位反轉。總體來講,可以將其理解為相位調制,而且是一種特殊的相位調制,調制信號不是經典的正弦波信號,而是方波信號,可以將調制信號寫為如下形式:

式中,T 為調制信號的周期,為一幀波形時長的兩倍。這意味著在t=0 時刻,載波的相位發生了變化。

既然可以理解為相位調制,則可將已調信號寫為如下形式:

式中φm為相位偏移,對于圖1的例子,φm=π。很顯然,調制信號已經不再是單頻點信號,而是多頻點信號。對于圖2所示的周期為T 的方波信號,其頻譜包含DC、基波及其眾多的奇次諧波分量 。

圖2. 調制信號p(t)的時域波形

滿足Dirichlet 條件時,任何周期函數均可以進行傅里葉級數展開,p(t) 可以寫為:

式中,Ω為方波信號的基波頻率,Ω=2π/T。

經過計算,可以得到an 和bn 如下:

這意味著p(t) 只包含DC、基波及其奇次諧波,但階數越高,諧波強度越弱。

可以將p(t) 重新寫為:

為簡便起見,首先考慮調制信號只包含DC和基波的情況,這又回到經典的相位調制。

將其代入已調信號up (t) 后可得

上式可以寫為復指數形式

為了進一步分析,可將進行傅里葉級數展開,其展開式為宗數為b1φm的第一類貝塞爾函數:

將其代入復指數表達式

則up (t) 可重新表示為

可以看出,當只考慮調制信號的DC和基波時,已調信號up (t)將包括ωc及ωc+nΩ(n為整數) 等眾多頻率分量。

實際中調制信號還包含豐富的諧波分量,因此對載波進行相位調制后的頻譜更加豐富。面對的困難是,考慮的諧波越多,公式推導越復雜。為了簡化,下面只考慮到3次諧波。

對應的已調信號為

類似地,可以寫為如下復指數形式

分別進行傅里葉級數展開為

經過一番推導可得

由此可見,當考慮到調制信號的三次諧波時,已調信號up (t) 的頻譜更加豐富,包括ωc、ωc+nΩ 、ωc+3kΩ及ωc+nΩ+3kΩ(n,k為整數) 等眾多頻率分量。

以此類推,當考慮p(t) 更高階的諧波時,將會有更多的頻率項,但是從頻率上看,各個頻率分量都是均勻分布的,而且相鄰譜線之間的間距始終為基波Ω。

2. 下面討論一下up (t) 主要頻率分量的幅度。

(1) 首先考慮載波ωc的幅度,以上面考慮到三次諧波的情況為例。當nΩt+3kΩt=0 時,對應的就是載波分量。這要求n=-3k (k 為整數),此時可以得到:

對于第一類貝塞爾函數Jn (x),其奇偶特性如下:

當n 為奇數時,Jn (x) 為奇函數;當n 為偶數時,Jn (x) 為偶函數。

進一步化簡可得

因以上考慮的都是相位偏移 φm=π的情況,故b1φm=2,b3φm=2/3,代入上式得

對于第一類貝塞爾函數,Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5),則

根據第一類貝塞爾函數,上式計算得到的載波信號幅度非常微弱。

(2) 頻率分量ωc+Ω的幅度分析。當n=-3k+1 時,對應的就是ωc+Ω頻率分量。

由于,且Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5),上式進一步化簡得

該頻率分量的幅度要遠遠大于載波的幅度!

(3) 頻率分量ωc-Ω的幅度分析。當n=-3k-1 時,對應的就是ωc-Ω頻率分量。

由于,且Jn (2)=Jn (2/3)=0 (n≥5),上式進一步化簡得

該頻率分量的幅度也遠遠大于載波的幅度!

而且對比 ωc+Ω 和 ωc-Ω 兩個頻率分量,它們的幅度相同!也就是說,從頻譜上看,它們是關于載波對稱的!

(4) 頻率分量ωc+2Ω 的幅度分析。當n=-3k+2 時,對應的就是ωc+2Ω 頻率分量。

雖然(n,k) 的組合很多,但是當階數較大時,Jn (2)= Jn (2/3)=0 (n≥5),因此可得

經過計算,該頻率分量的幅度非常微弱。

(5) 頻率分量ωc-2Ω 的幅度分析。當n=-3k-2 時,對應的就是ωc-2Ω 頻率分量。

雖然(n,k) 的組合很多,但是當階數較大時,Jn (2)= Jn (2/3)=0 (n≥5),因此可得

該頻率分量與ωc+2Ω 的幅度相同,依然非常微弱。

上面從理論上解釋了頻譜泄露的起因,而且當發生頻譜泄露時,會產生眾多的、分布均勻的頻率分量,相鄰譜線的頻間距取決于FFT時一幀波形的時長。

值得一提的是,相位偏移 φm不僅對各個頻率分量的幅度有影響,也會影響頻率分布,以后有機會再來解釋這一點。

3. 通過使用AWG播放一個CW信號驗證上述推導。

使用AWG 輸出一個100MHz 頻率的CW 信號,波形時長為10.5個周期,如圖3所示,當循環播放時便可以模擬上述的相位不連續性,會造成180°的相位跳變。

對于這種波形時長不是信號周期整數倍的情況,當單次播放時,信號的頻率就是100MHz ,但是當連續播放時相當于引起了相位調制,按照上述理論分析,頻譜中將包含很多頻率成分,圖4給出了信號的實測頻譜。

本例中,波形時長為105ns,這意味著頻譜中相鄰譜線之間的頻率間隔約為:4.76MHz,這與圖4所示的頻譜是吻合的。

缅甸玉和国际圖3。 波形時長為10。5個信號周期

圖4. 時域波形及其頻譜

小結

對于使用矩形窗進行FFT時可能存在的頻譜泄露效應,本文從理論上定性地進行了分析。究其原因,是因為當進行周期擴展時造成了相位的不連續。相位的不連續可以當作相位調制來處理,經過一系列推導最終解釋了為什么會出現眾多的頻率成分。文中還對特定相位偏移情況下的頻率分量的幅度進行了分析。文末通過一個實例模擬了這種相位不連續,并測試了波形和頻譜,實測結果與理論推導相吻合。

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